Моя презентация на ИО-2023

Александр Расстригин
27 июня 2023, Волгоград

Текст доступен на raxal.ru/posts/2023/06/26/cas-forall/
Исходный блокнот - открыть в nbviewer

Содержание:

Зачем вам система компьютерной алгебры?
Зачем вам другая система компьютерной алгебры?
Еще одна система - SageMath
SageMath и как ей пользоваться

pretty_print_default(True)

Зачем вам система компьютерной алгебры?

Исследовательские задачи
- Вычисления и моделирование
- Проверка гипотез
- Поиск примеров и контрпримеров
- Визуализация
Создание учебных заданий
Проверка учебных заданий
Демонстрация в учебных целях

Примеры

# решение задачи может быть представлено во многих формах
val1 = (sqrt(250) + sqrt(10))/sqrt(5)
val1

# проверить его может быть нетривиальным делом
if val1 == 6*sqrt(2):
    print('Верно')

# другой пример
x, y = var('x, y')
val2 = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)
val2

if val2 == sin(x+y):
    print('Так держать')

var('x')
x0 = 0
f = 2*x^2*exp(-x)
p = plot(f,-1,5, thickness=1)
@interact
def _(order=slider(1, 12, default=1)):
    ft = f.taylor(x,x0,order)
    pt = plot(ft,-1, 5, color='red', linestyle='dashed', thickness=3)
    show(p + pt, ymin=-2, ymax=2, aspect_ratio=1)

u, v = var('u, v')
parametric_plot3d((u, v, u^2 - v^2), (u,-1,1), (v,-1,1), mesh=True)

Зачем вам другая система компьютерной алгебры?

Не нужно покупать права на использование
Можно запускать:
- на своем компьютере
- в облаке
- в собственном облаке
- в качестве программной библиотеки
- можно не запускать
Возможно узнать как работают все алгоритмы
Можно участвовать в разработке и вносить изменения

Из чего можно выбирать?

Axiom и форки (Lisp, бывш. Scratchpad),
Reduce (Lisp),
Maxima (Lisp, бывш. Macsyma),
GAP (C/C++),
Singular (C/C++),
SymPy (Python),
SageMath (Python/Cython),
OSCAR (Julia),

Еще одна система - SageMath

Система SageMath (или просто Sage = System for Algebra and Geometry Experimentation) появилась в 2005 как проект профессора математики Уильяма Стейна (William A. Stein). В настоящий момент является свободным ПО и развивается сообществом разработчиков (100 000+ коммитов в VCS), включающим несколько основных разработчиков-сопровождающих и участников со всего мира.

Sage - это математическое ПО общего назначения построено с помощью языка Python и объединяет собственный код и более 100 сторонних программ (включая перечисленные ранее), предоставляя к ним доступ из общего программного интерфейса на Python.

Официальный сайт - https://www.sagemath.org

Разделы официальной документации позволяют представить области применения:

Graphics
Basic Rings and Fields
Linear Algebra
Calculus and Analysis
Probability and Statistics
Mathematical Structures
Discrete Mathematics
Geometry and Topology
Homological Algebra
Number Fields, Function Fields, and Valuations
Number Theory
Algebraic and Arithmetic Geometry

Основной интерфейс - интерактивная среда Jupyter notebooks

Установка на локальный компьютер (Linux, macOS, Windows/WSL):

пакетом из стандартного репозитория вашего дистрибутива (легко и быстро)
контейнером Docker из репозитория
пакетом из conda-окружения
компиляция из исходников (легко, но долго)

SageMath и как ей пользоваться

Примеры: Создание учебных заданий

# Создадим плоскость через точку и направляющие векторы
V = random_matrix(ZZ, 2, 3, algorithm='echelonizable', rank=2, upper_bound=9)
P = random_vector(ZZ, 3, x=-9, y=9)
V, P

vars_list = vector(var('x,y,z'))
M = matrix([vars_list - P, V[0], V[1]])
M

eq = det(M)
eq == 0

# Обернем это в функцию
def gen_plane():
    V = random_matrix(ZZ, 2, 3, algorithm='echelonizable', rank=2, upper_bound=9)
    P = random_vector(ZZ, 3, x=-9, y=9)
    vars_list = vector(var('x,y,z'))
    M = matrix([vars_list - P, V[0], V[1]])
    return det(M)

for i in range(5):
    print(gen_plane())

# Зададим состояние генератора для повторяемости
with seed(1):
    for i in range(5):
        print(gen_plane())

Примеры: Создание учебных заданий - 2

# Создадим функцию для вычисления предела
R = PolynomialRing(ZZ, 'x')
p = R.random_element(degree=2) * (x - 1)
q = R.random_element(degree=2) * (x - 1)
f = expand(p)/expand(q)
f

limit(f, x=1)

# Создадим граф без висячих вершин для поиска маршрутов по всем вершинам
while True:
    D = graphs.RandomGNP(8, .5)
    if 1 not in D.degree_sequence():
        break

plot(D)

D.is_hamiltonian()

Примеры: Проверка учебных заданий

# Пусть дана произвольная плоскость
eq_plane = gen_plane()
eq_plane

# Принадлежит ли точка M плоскости?
M = (1, 2, 3)

vars_list = var('x,y,z')
subs_M = dict(zip(vars_list, M))
subs_M

if eq_plane.subs(subs_M) == 0:
    print('Да')
else:
    print('Нет')

Примеры: Проверка учебных заданий - 2

# Ответы для проверки можно брать с формы на вашем сайте

# пусть input_str получено с формы (и хорошенько проверено)
input_str = 'M = (2,1,0)'

exec(input_str)
M

Системы компьютерной алгебры для каждого