Возникало ли у вас ощущение при изучении школьной геометрии, что наука эта менее обоснованная чем алгебра? Такое впечатление на меня оказывают точки, прямые и плоскости, а также их движения и переносы, или геометрические доказательства с обилием разных понятий звучат убаюкивающе? Не могу сказать. Как и не могу достоверно утверждать, что я этого не выдумал на каком-то более позднем, уже не школьном, этапе.
Правильно ли такое отношение?
Обоснование этому можно сочинить, к примеру, такое. Алгебра изначально сильно абстрактная штука, там одни числа и буквы, и функции. В геометрии же куча понятий: перечисленные точки, прямые и плоскости, а также углы, площади, объемы, переносы, повороты, … Все они могут быть взяты из наглядных соображений и если я/ты пропустил начало учебного года, то … все это становится вилами по воде писаным.
Простое утверждение
Приведу еще один пример из учебника Атанасяна и Базылева для вузов1. В начале книги упоминается, что мы пока продолжаем школьный курс геометрии. И на основе этих представлений рассматривается определение векторов (в дальнейшем, основное понятие). Для доказательства свойств направленных отрезков, задающих один и тот же вектор, нужно утверждать, что сонаправленность отрезков обладает транзитивностью:
Если $AB$ сонаправлен с $CD$ и $CD$ сонаправлен с $EF$, то $AB$ сонаправлен с $EF$.
(там речь еще и о равных по длине отрезках;
здесь - о ненулевых)
Теорема эта в учебнике не доказывается. Да мало того, еще и соседствует с теоремой, которую читателю предлагается доказать самостоятельно (пользуясь рисунками).
Ну хорошо.
Раз это в начале и на этом все основано, то доказать должно быть несложно.
Так?
Тут говорят о векторах, так что аксиом должно хватить.
Верно?
А что такое сонаправленность?
Два луча $AB$ и $CD$ сонаправлены, если они:
- лежат на параллельных прямых и в одной полуплоскости от
$AC$или - лежат на одной прямой и один из лучей содержит другой.
У меня в школе был учебник Погорелова2. Посмотрев который сечас я вижу, что там все подробно написано. Для тех, кто захотел, там есть и про аксиомы и про параллельный перенос, и про доказательства только с помощью аксиом. Возьмем сейчас оттуда список аксиом:
I1. Какова бы ни была прямая, существуют точки,
как принадлежащие этой прямой, так и точки ей не принадлежащие.
I2. Через любые две точки можно провести прямую,
и только одну.
II1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
II2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости
[так, что отрезок, соединяющий точки одной полуплоскости, не пересекается с прямой,
а отрезок, соединяющий точки разных полуплоскостей, пересекается с прямой].
И так далее.
Расположение трех точек прямой “$C$ лежит между $A$ и $B$”
для улучшения понимания можно озвучивать как “$C$ разделяет $A$ и $B$”
или как “$A$ и $B$ по разные стороны от $C$”;
или даже как “$C$ и $B$ по одну сторону от $A$”
(это одно и то же, по аксиоме II1).
Лучом $AB$ тогда называется множество таких точек $C$ данной прямой,
что $A$ не лежит между $B$ и $C$.
Нетрудно проверить, что если третья точка $C$ лежит на луче $AB$,
то луч $AB$ можно с успехом назвать лучом $AC$.
Кроме этого всего напишу еще одно утверждение, которое может понадобиться:
Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она пересекает и какую-то из двух других сторон данного треугольника.
Доказывать не будем, но чтобы не задерживаться: …
$AB$ это означает, что $A$ и $B$ разделены ею
по разным полуплоскостям;
а где тогда может оказаться третья вершина $C$?
Оно называется теоремой Паша (или аксиомой) и в нашем случае следует сразу из аксиомы II2.
Итак, (для ненулевых отрезков)
Теорема. Если отрезок $AB$ сонаправлен с отрезком $CD$ и отрезок $CD$ сонаправлен с отрезком $EF$,
то отрезок $AB$ сонаправлен с отрезоком $EF$.
Пусть $AB$ сонаправлен $CD$ и $CD$ сонаправлен $EF$.
Рассмотрим несколько случаев в зависимости от количества участвующих прямых,
на которых лежат отрезки.
Предположим, что $AB$ лежит на одной прямой, а $CD$ и $EF$ на другой.
Кроме того, пусть луч $CD$ содержит луч $EF$ (и отличен от него).
Последнее значит, что $E$ разделяет $C$ и $F$:
$C$ не может разделять $E$ и $F$ как начало луча, который содержит $E$ и $F$,
а $F$ не может разделять $C$ и $E$, т.к. иначе $C$ окажется на луче $EF$.
Теперь нам нужно понять, сонаправлены ли $AB$ и $EF$,
то есть пересекает ли отрезок $BF$ прямую $AE$.
Но если $BF$ пересекает (отрезок) $AE$,
то в треугольнике $ACE$ пересекается одна из сторон,
что повлекло бы по теореме Паша пересечение другой.
А именно стороны $CE$
($AC$ пересекать нельзя из-за сонаправленности $AB$ и $CF$).
И это противоречило бы упомянутому расположению точек $C,E,F$.
Поэтому $BF$ не пересекает $AE$ и $AB$ сонаправлен с $EF$.
Это был случай на двух прямых.
Предположим теперь, что $AB$, $CD$ и $EF$ лежат на разных прямых.
Нас интересует, сонаправлены ли $AB$ и $EF$,
то есть лежат ли они по одну сторону от $AE$.
Предлагаю вместо $CD$ отложить
(есть свойство о возможности отложить на луче отрезок, равный данному отрезку)
сонаправленный с ним $C_1 D_1$
от точки пересечения $C_1$ прямых $AE$ и $CD$.
Воспользоваться первым случаем для установления сонаправленности
$AB$ и $C_1 D_1$, $C_1 D_1$ и $EF$.
Затем воспользоваться тем, что все отрезки начинаются на одной прямой.
Остался еще случай на одной прямой. Все на одной прямой и есть несколько возможностей того, как лучи друг друга содержат. Проверим один какой-нибудь случай для примера.
Пусть луч $CD$ (строго) содержит лучи $AB$ и $EF$.
Кроме этого выберем произвольно
расположение начальных точек: $A$ разделяет $C$ и $E$
(другой случай рассматривается аналогично/сменой обозначений).
Тогда относительно $A$ точка $B$ лежит вместе с $E$, но не с $C$.
Поэтому луч $AB$ содержит $E$.
Относительно $E$ точки $F$ и $C$ в разных полуплоскостях,
а значит $F$ будет в разных и с точкой $A$.
Получается, что луч $AE$ (который равен лучу $AB$) содержит точку $F$.
На этом можно остановиться, так как точку $F$ можно
рассматривать как произвольную (неначальную) точку луча $EF$.
Заключение
Могу ли я после этого считать, что в сонаправленности лучей есть хоть что-то, что необходимо домысливать или полагаться на наглядность? Нет. Могу ли я надеяться, что авторы учебников будут более заботливы и, избавив меня от страданий, покажут как такие вещи получаются? Да.