Поле комплексных чисел

Во множестве \(M_2(\mathbf{R})\) рассмотрим подмножество \[ \mathbf{C} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} \biggm| a,b \in \mathbf{R} \right\} \]

Теорема. Множество \(\mathbf{C}\) относительно операций сложения и умножения матриц образует поле.

Поле комплексных чисел считается расширением поля действительных чисел.

Применения:

• некоторые геометрические задачи имеют выражение на комплексной плоскости: если \(z\) представляет точку на плоскости, то поворот можно записать \(u z\); проективное преобразование (прим. смену координат) можно записать как дробно-линейное преобразование \(\frac{az+b}{cz+d}\)
• решение некоторых задач предполагает наличие комплексных решений

В поле \(\mathbf{C}\) существует “копия” поля действительных чисел.

Сопоставляя всякому действительному числу \(a\) комплексное число \(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) можно заметить, что действия с такими комплексными числами осуществляются так же, как и с соответствующими действительными.

Поэтому мы будем обозначать \(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} \in \mathbf{C}\) через более краткое \(a\).

Тогда \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0\\ 0 & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} = a + b \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\).

Этот особый элемент \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) обозначается через \(i\) и называется мнимая единица.

Значит \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} \in \mathbf{C}\) мы будем коротко записывать как \(a + bi\) и называть алгебраическая форма комплексного числа.

Какие свойства имеет элемент \(i\)?

По сложению все просто: например, \(i + i = 2 i\) (кстати, \(2\) - комплексное число).

По умножению:

• \(i \cdot i = i^2 = -1\)
• \(i \cdot i \cdot i = i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i\)
• \(i^4 = i^3 \cdot i = -1 \cdot i \cdot i = 1\)
• далее пойдут повторения: \(i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i\)

Действия с комплексными числами в алгебраической форме осуществляются также как и с действительными (это обеспечивают свойства поля) за тем лишь исключением, что \(i \cdot i = -1\).

Каждому комплексному числу \(z = a+bi\) обычно сопоставляют сопряженное с ним число \(\overline{z} = a-bi\), норму этого числа \(N(z) = a^2 + b^2 \in \mathbf{R}\) и его модуль \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \in \mathbf{R}\).

Они обладают следующими свойствами:

для сопряженного

1. \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)
2. \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\)
3. \(\overline{\overline{z}} = z\)
4. \(\overline{z} = z\) \(\Longleftrightarrow\) \(z \in \mathbf{R}\)

для нормы

1. \(N(z) = z \cdot \overline{z}\)
2. \(N(z) \geq 0\)
3. \(N(z) = 0\) \(\Longleftrightarrow\) \(z = 0\)
4. \(N(z_1) \cdot N(z_2) = N(z_1 \cdot z_2)\)
5. \(z^{-1} = \frac{\overline{z}}{N(z)}\), если \(z \neq 0\)

и для модуля

1. \(|z| = \sqrt{N(z)}\)
2. \(|z| = 0\) \(\Longleftrightarrow\) \(z = 0\)
3. \(|z_1| \cdot |z_2| = |z_1 \cdot z_2|\)
4. \(|z^{-1}| = |z|^{-1}\)
5. \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)

Геометрическое представление

Каждому комплексному числу \(z = a+bi\) в прямоугольной декартовой системе координат \(O\vec{i}\vec{j}\) сопоставим точку с координатами \(M(a, b)\).

Каждой точке \(M(a, b)\) соответствует ее радиус-вектор \(\vec{OM}(a,b)\).

Каждое из этих соответствий взаимно однозначное.

Такое сопоставление позволит определить комплексное число длиной вектора и углом его наклона к оси координат (\(\vec{i}\)):

• \(|\vec{OM}| = \sqrt{a^2 + b^2} = |a+bi| = |z|\) и это число уже названо модулем числа \(z\)
• \(\angle (\vec{OM}, \vec{i}) = \mathop{arg} z\) которое называется аргументом числа \(z\)

Так как верны геометрические соотношения \(a = |z| \cos(\mathop{arg} z)\), \(b = |z| \sin(\mathop{arg} z)\), то мы получаем тригонометрическую форму комплексного числа \[z = r (\cos\phi + i\sin\phi)\] где \(r = |z|\) и \(\phi = \mathop{arg} z\).

Теорема. Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы кратны \(2\pi\)

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме имеют преимущества для умножения: если \(z_1 = r_1 (\cos\phi_1 + i\sin\phi_1)\) и \(z_2 = r_2 (\cos\phi_2 + i\sin\phi_2)\), то

• \(z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i \sin(\phi_1 + \phi_2))\)
• \(z^{-1} = \frac{1}{r} (\cos(-\phi) + i \sin(-\phi))\), если \(z \neq 0\)

Теорема. (формула Муавра) Если \(z = r (\cos\phi + i\sin\phi)\), то \(z^n = r^n (\cos n\phi + i\sin n\phi)\) справедливо для любого \(n \in \mathbf{Z}\).

Группа корней n-ой степени из 1

Теорема. Множество всех корней \(n\)-ой степени из числа 1 относительно умножения образует циклическую группу порядка \(n\).