Бинарная алгебраическая операция на множестве \(X\) - это всякое отображение \(f\) множества \(X \times X = \{ (a,b) \mid a,b \in X \}\) во множество \(X\).
Примеры.
Результат применения \(f(a,b)\) бинарной операции \(f\) можно записывать \(a \mathop{f} b\), как мы это делаем со сложением и умножением.
Для обозначения произвольной операции можно использовать \(+\) и называть ее “сложением” (аддитивная терминология). Пример: сложение матриц (это не привычное сложение чисел).
Для обозначения произвольной операции можно использовать \(\cdot\) и называть ее “умножением” (мультипликативная терминология). Пример: произведение функций с помощью композиции (подстановки одной функции-сомножителя в другую функцию-сомножитель). Операция умножения при записи часто опускается: \(ab\) вместо \(a \cdot b\).
Аналогично бинарной (двухместной) алгебраической операции определяются \(n\)-арные алгебраические операции.
Алгебраическая структура (алгебраическая система) - это непустое множество и заданные на нем алгебраические операции.
Одна из самых простых алгебраических структур:
Группоид - пара, состоящая из непустого множества и заданной на нем бинарной алгебраической операции.
Коротко записывается: (M, ) - группоид.
Для алгебраической операции могут быть верны (а могут и не быть) дополнительные свойства:
Ассоциативность: \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\) для любых \(a,b,c \in M\)
Коммутативность: \(a \cdot b = b \cdot a\) для любых \(a,b \in M\)
Полугруппа - ассоциативный группоид.
Левой единицей в мультипликативном группойде \(M\) называется такой элемент \(e \in M\), что \(e a = a\) для любого элемента \(a \in M\).
Правой единицей в мультипликативном группойде \(M\) называется такой элемент \(e \in M\), что \(a e = a\) для любого элемента \(a \in M\).
Единица \(e\), которая одновременно левая и правая, называется (двухсторонней) единицей.
Теорема. Если группоид содержит левую и правую единицу, то они совпадают.
Моноид - полугруппа с единицей.
Обратимым слева элементом моноида \(M\) называется такой элемент \(a \in M\), что \(a b = e\) для некоторого \(b \in M\) и левой единицы \(e \in M\); \(b\) в этом случае называется левым обратным к a.
Обратимым справа элементом моноида \(M\) называется такой элемент \(a \in M\), что \(b a= e\) для некоторого \(b \in M\) и правой единицы \(e \in M\); \(b\) в этом случае называется левым обратным к a.
Теорема. Если элемент моноида обратим слева и справа, то левый и правый обратный к нему совпадают.
Пусть \(a\) обратим слева (\(ba=e\)) и справа (\(ac=e\)). Тогда \(b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c\).
Обратимый слева и справа элемент моноида называется обратимым.
Обратный к \(a\) является левым и правым, и единственным; поэтому для него используется обозначение \(a^{-1}\).
В аддитивной терминорогии: единица называется нулем, обратный элемент называется противоположным элементом.
Группа - моноид в котором каждый элемент обратим.
Кольцо - алгебраическая структура \((R, +, \cdot)\) с двумя операциями - “сложением” и “умножением”, которые подчиняются следующим свойствам:
Поле - кольцо, в котором для умножения справедливы все свойства абелевой группы, кроме обратимости нуля: умножение коммутативно, есть единица по умножению, каждый ненулевой элемент обратим.