Решетка \(L\) называется полной, если для любого \(S \subseteq L\) существуют \(\sup S\) и \(\inf S\).
Теорема. (признак) Если частично упорядоченное множество \(P\) имеет наибольший элемент и всякое его непустое подмножество имеет точную нижнюю грань, то \(P\) - полная решетка.
Оператор замыкания
Решетка замкнутых подмножеств множества
Если \(L\) - полная решетка, то оператор \(C\) на \(L\) по правилу \(C(S) = \{ x \in L \mid x \leq \lor S \}\) будет оператором замыкания; решетки \(L\) и \(L_C\) изоморфны.
Решетка подалгебр