(Частичный) порядок - рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение.
Частично упорядоченное множество \((P, \leq)\)
Отображение частично упорядоченных множеств называется изотонным, если оно сохраняет порядок. Изоморфизм - взаимно однозначное и взаимно изотонное.
Наибольшие (и наименьшие) элементы множества: их не больше одного и его нызвают единицей (и нулем).
Максимальные (и минимальные) элементы множества.
Интервалы
Двойственные утверждения и принцип двойственности: если справедлива теорема для всех частично упорядоченных множеств, то справедлива и двойственная ей теорема.
Пусть \(A \rightarrow B\) и \(P \vdash A^\ast\); тогда \(P^\ast \vdash A^{\ast\ast}\) и \(P^\ast \vdash B\); поэтому \(P = P^{\ast\ast} \vdash B^*\).
Множество верхних границ (верхний конус) \(A^\triangle\) для множества \(A\) может содержать наименьший элемент - точная верхняя грань \(\sup A\). Наибольший элемент \(A^\triangledown\) - \(\inf A\).
Как упражнение
Теорема. Если \(A^\triangle \neq \emptyset\), то \(\sup A = \inf A^\triangle\) (если существует хотябы одна).
Цепью (линейно упорядоченным множеством) называется частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы.
Вполне упорядоченным множеством называется частично упорядоченное множество, всякое непустое подмножество которой содержит минимальные элементы.
Лемма. Вполне упорядоченное множество является цепью.
Теорема. Следующие условия эквивалентны: 1. (аксиома выбора) Пусть \(S = \{ S_i \mid i \in I \}\) непустое семейство непустых множеств. Существует функция \(f \colon S \to \bigcup S_i\), для которой \(f(S_i) \in S_i\) для всех \(i \in I\) 2. (теорема Цермело) На всяком непустом множестве можно задать порядок, превращающий его во вполне упорядоченное множество. 3. (теорема Хаусдорфа) Всякая цепь любого частично упорядоченного множества может быть вложена в максимальную цепь. 4. (лемма Куратовского-Цорна) 5. (лемма Цорна) Если любая цепь частично упорядоченного множества имеет точную верхнюю грань, то само множество содержит максимальные элементы.
Прямым (декартовым) произведением множеств \(S_1, S_2\) называется множество \(S_1 \times S_2 = \{ (s_1, s_2) \mid s_1 \in S_1, s_2 \in S_2 \}\). Прямое произведение бесконечного числа множеств \(S_i, i \in I\) определяется как \(\prod S_i = \{ f \colon I \to \bigcup S_i \mid f(i) \in S_i \}\)
Следствие. Прямое произведение любой системы непустых подмножеств непусто.